Hola Ignacio. Es una buena duda, además de complicada de resolver.

Sobre el tipo de suela, supongo habrás visto este artículo: https://padelstar.es/zapatillas-de-padel/tipos-de-suela-en-zapatillas-deportivas-de-padel/

No obstante, es cierto que las suelas de las zapatillas están cambiando casi cada año, realizando combinaciones de las "básicas", es decir, espiga y omni (de puntitos).

Al final lo que se busca en pádel es el equilibrio entre buen agarre y "deslizamiento", ya que se sabe que muchas veces no se para "en seco", e incluso esto puede ser lesivo.

La carga de los cuádriceps es complicado saber si viene por ello, por cambio de hábitos tuyos, de tu estilo de juego, etc...

Relacionando la carga de cuádriceps y de la suela, se me ocurre como mucho que podría ser por haber aumentado tus "paradas en seco", esto hace que haya una contracción excéntrica en tu cuádriceps, y cierto es que ese tipo de contracciones carga bastante los músculos (un ejemplo es el bajar una cuesta, que vamos "frenando", eso carga la musculatura más incluso que subir la cuesta, debido a las contracciones excéntricas)

Personalmente, me es muy difícil asegurarte que esta sea la razón, y más aún decirte si un cambio de zapatillas mejoraría este "problema" que estás teniendo.

Sí puedo afirmarte que realizar un trabajo de fuerza en piernas (moderado y progresivo), junto con buena recuperación, estiramientos tras partido o sesiones de estiramientos, .... esto sí que mejorará tu fuerza y evitará estas sobrecargas.

Espero ayudarte en algo. Un saludo!